Lernen Sie die Mathematik hinter den Fibonacci-Zahlen, dem Goldenen Schnitt und ihrer Beziehung zueinander kennen. Diese Themen werden vielleicht nicht im Rahmen eines typischen Mathematiklehrplans gelehrt, aber sie enthalten viele faszinierende Ergebnisse, die auch für einen fortgeschrittenen Highschool-Schüler zugänglich sind.
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Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
Dozent: Jeffrey R. Chasnov
TOP-LEHRKRAFT
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Empfohlene Erfahrung
Was Sie lernen werden
Fibonacci-Zahlen
Goldener Schnitt
Fibonacci Identitäten und Summen
Fortgesetzte Brüche
Kompetenzen, die Sie erwerben
- Kategorie: Mathematik für die Freizeit
- Kategorie: Diskrete Mathematik
- Kategorie: Elementarmathematik
Wichtige Details
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In diesem Kurs gibt es 3 Module
Wir lernen etwas über die Fibonacci-Zahlen, den Goldenen Schnitt und ihre Beziehung zueinander. Wir leiten die berühmte Binet-Formel ab, die eine explizite Formel für die Fibonacci-Zahlen in Form von Potenzen des Goldenen Schnitts und seines Kehrwerts liefert. Mit dieser Formel kann die n-te Fibonacci-Zahl berechnet werden, ohne dass die vorhergehenden Terme der Folge addiert werden müssen.
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Wir lernen etwas über die Fibonacci Q-Matrix und die Cassini-Identität. Die Cassini-Identität ist die Grundlage für den berühmten Zerlegungsfehler, das Fibonacci-Bamboozlement. Ein Zerlegungsfehler ist ein scheinbares Paradoxon, das sich aus zwei Anordnungen unterschiedlicher Flächen aus einem Satz von Puzzleteilen ergibt. Wir leiten auch Formeln für die Summe der ersten n Fibonacci-Zahlen und die Summe der ersten n Fibonacci-Zahlen zum Quadrat ab. Schließlich zeigen wir, wie man ein goldenes Rechteck konstruiert und wie dies zu dem schönen Bild der spiralförmigen Quadrate führt. Bei diesem Bild handelt es sich um eine Zeichnung einer Folge von Quadraten, deren Seitenlängen jeweils dem konjugierten Goldenen Schnitt, erhöht um eine ganzzahlige Potenz, entsprechen, wodurch ein visuell ansprechendes und mathematisch faszinierendes Muster entsteht.
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9 Videos10 Lektüren3 Quizzes
Wir lernen etwas über die goldene Spirale und die Fibonacci-Spirale. Aufgrund der Beziehung zwischen den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt konvergiert die Fibonacci-Spirale schließlich zur Goldenen Spirale. Sie werden die Fibonacci-Spirale erkennen, denn sie ist das Symbol unseres Kurses. Als nächstes lernen wir etwas über fortgesetzte Brüche. Einen Kettenbruch zu konstruieren bedeutet, eine Folge von rationalen Zahlen zu konstruieren, die zu einer irrationalen Zielzahl konvergiert. Der Goldene Schnitt ist die irrationale Zahl, deren fortgesetzter Bruch am langsamsten konvergiert. Wir sagen, dass der Goldene Schnitt die irrationale Zahl ist, die am schwierigsten durch eine rationale Zahl zu approximieren ist, oder dass der Goldene Schnitt die irrationalste aller irrationalen Zahlen ist. Anschließend definieren wir den Goldenen Winkel, der mit dem Goldenen Schnitt zusammenhängt, und verwenden ihn, um das Wachstum eines Sonnenblumenkopfes zu modellieren. Die Verwendung des goldenen Winkels in dem Modell ermöglicht eine feine Packung der Blüten und führt zu dem unerwarteten Auftreten der Fibonacci-Zahlen in der Sonnenblume.
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Geprüft am 13. Feb. 2021
Geprüft am 22. März 2019
Geprüft am 1. Juni 2020
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