Qu'est-ce que l'algèbre linéaire ?

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L'algèbre linéaire combine le calcul à plusieurs variables, les équations différentielles et les probabilités en une théorie et un système mathématiques largement applicables qui sont à la base de nombreuses technologies que nous utilisons dans notre vie. L'algèbre linéaire étudie les vecteurs et les fonctions linéaires pour résoudre des systèmes d'équations linéaires contenant plusieurs variables. Elle se concentre sur le calcul des vecteurs, qui sont des points dans l'espace avec une norme (une longueur) et une direction, et des matrices, qui sont des tableaux de nombres. 

Bien que l'algèbre linéaire ne soit pas un prérequis pour débuter dans l'apprentissage automatique, ses principes deviennent fondamentaux pour une compréhension plus approfondie des algorithmes utilisés dans l'apprentissage automatique. L'algèbre linéaire peut être utile lorsque vous êtes confronté à certains principes de l’apprentissage profond pour vous permettre de prendre des décisions éclairées lors du développement d'un nouveau système d'apprentissage automatique. 

Cet article examine plus en détail les principes de l'algèbre linéaire, ses utilisations, les personnes qui utilisent l'algèbre linéaire, son utilisation dans l'apprentissage automatique et la manière d'étudier l'algèbre linéaire. 

Principes de l'algèbre linéaire

L'algèbre linéaire comporte de nombreux principes opérationnnels. Voici quelques-uns des principes de l'algèbre linéaire qui sont également utiles dans l'apprentissage automatique :

• Les vecteurs et espaces vectoriels

• Les systèmes d'équations linéaires

• Les matrices

• Les valeurs propres et vecteurs propres

Examinons chaque concept de plus près. 

Les vecteurs et espaces vectoriels

Un vecteur est une quantité qui a une longueur et une direction. En algèbre linéaire, vous pouvez additionner plusieurs vecteurs et les multiplier en suivant les règles d'addition et de multiplication des vecteurs. L'algèbre linéaire traite de nombreux types de vecteurs :

• Séries entières

• Polynômes

• Nombres

• Vecteurs normaux géodésiques

• Fonctions sur un domaine

• Polynômes du second degré

Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs que l’on peut additionner entre eux et que l’on peut multiplier. Les espaces vectoriels reposent sur 10 axiomes que les vecteurs suivent lorsqu'ils s'additionnent et sont multipliés. 

Systèmes d'équations linéaires

L'algèbre linéaire étudie les fonctions linéaires, qui sont des fonctions dont les vecteurs sont à la fois l'entrée et la sortie. Une matrice fournit un exemple de fonction linéaire lorsqu'elle est multipliée en transformant un vecteur en un autre vecteur. Un système d'équations linéaires se transforme en une équation matricielle par le biais d'une matrice augmentée dans un processus appelé élimination de Gauss-Jordan. Pour résoudre un système d'équations linéaires, vous utilisez la matrice échelonnée réduite, qui simplifie le système d'équations en une matrice, transformant l'équation linéaire en une forme résoluble. 

Matrices

Une matrice est le résultat d'un système qui organise des fonctions linéaires. Il est important de savoir que l'algèbre linéaire utilise les matrices comme notation au sein de l'algèbre linéaire, mais l'essence de l'algèbre linéaire est constituée de fonctions linéaires, et non de matrices. En ce qui concerne les matrices, vous apprenez leur notation, comment les matrices fonctionnent avec les opérateurs linéaires, les propriétés des matrices, les matrices inverses et comment travailler avec différentes matrices dans les systèmes linéaires. 

Valeurs propres et vecteurs propres

En algèbre linéaire, on apprend à connaître les valeurs propres et les vecteurs propres. L'une des équations les plus importantes en algèbre linéaire est l'équation entre les valeurs propres et les vecteurs propres. Les valeurs propres et les vecteurs propres sont les composantes d'une matrice décomposée. Ces composantes de la matrice décomposée facilitent l'analyse des matrices complexes. Elles fournissent des méthodes utiles pour décomposer les matrices dans le cadre de l'apprentissage automatique. 

À quoi sert l'algèbre linéaire ?

L'algèbre linéaire a une grande variété d'applications, tant en mathématiques appliquées qu'en mathématiques abstraites. L'algèbre linéaire étudie les systèmes linéaires tels que les rotations dans un espace donné et les systèmes d'équations différentielles. De nombreuses disciplines, telles que la chimie, la physique, l'économie et l'ingénierie, utilisent l'algèbre linéaire ; cependant, l'algèbre linéaire est une branche essentielle des mathématiques dans la science des données et l'apprentissage automatique.

Elle trouve des applications particulières dans les systèmes de positionnement global (GPS), l'analyse des tensions et des courants dans les circuits électriques, les chaînes de Markov et les modèles statistiques, le décodage et l'encodage des messages en cryptographie et la génération d'images de synthèse en 3D. 

Qui utilise l'algèbre linéaire ?

L'algèbre linéaire est utilisée par des personnes travaillant dans divers secteurs d'activité :

• L’ingénierie

• L'informatique

• Les mathématiques

• La physique

• La biologie

• L’économie

• Les statistiques

Examinons de plus près certaines professions et leur rapport avec l'algèbre linéaire.

Économistes

Salaire annuel moyen en France (Glassdoor) : € 58 000 [1]

Les économistes utilisent l'algèbre linéaire lorsqu'ils analysent la théorie macroéconomique et la théorie de l’économie politique en utilisant le modèle entrée-sortie pour trouver l'interrelation entre les activités économiques. 

Ingénieurs en aéronautique et aérospatiale

Salaire annuel moyen en France (Glassdoor) : € 43 060 [2]

Les ingénieurs aérospatiaux utilisent l'algèbre linéaire par exemple lors de la conception des systèmes de contrôle d’une navette spatiale en utilisant les propriétés de multiplication des fonctions par des scalaires dans des espaces vectoriels afin de contrôler et de maintenir la stabilité du vol. 

Ingénieurs en environnement

Salaire annuel moyen en France (Glassdoor) : € 38 500 [3]

Les ingénieurs en environnement utilisent l'algèbre linéaire pour calculer l'espace dont les espèces menacées d'extinction ont besoin à mesure que leur territoire s'amenuise, en analysant les systèmes dynamiques à l'aide des valeurs propres et des vecteurs propres. 

L'algèbre linéaire dans l'apprentissage automatique (machine learning)

L'algèbre linéaire englobe de nombreux processus d'apprentissage automatique, même si c'est l'ordinateur qui fait les calculs mathématiques. Une compréhension de base de la notation de l'algèbre linéaire, des opérations en algèbre linéaire et de la décomposition des matrices vous permet de mieux comprendre le fonctionnement de vos algorithmes et ce qu'ils font. 

Cependant, le fait d'aller plus loin vous permet d'acquérir une compréhension fondamentale des calculs effectués dans le cadre de l'apprentissage automatique. En outre, la connaissance de ces fondements vous donne une intuition plus profonde du fonctionnement des algorithmes, ce qui vous permet de mieux comprendre les algorithmes et de créer les vôtres. Un aspect de l'apprentissage automatique qui dépend de l'algèbre linéaire est la création de l'apprentissage profond dans l'analyse des sentiments, le traitement du langage naturel (NLP) et la vision par ordinateur en transformant les données en vecteurs pour l'analyse par un réseau neuronal. 

Les ingénieurs en apprentissage automatique (Machine Learning Engineers) ont un salaire annuel moyen de € 54 619 [4].

Comment étudier l'algèbre linéaire ?

Si vous êtes déjà inscrit à l'université, suivez des cours d'algèbre linéaire, prenez des notes, lisez les manuels, assistez aux conférences et demandez l'aide des professeurs si nécessaire. Pour apprendre l'algèbre linéaire de manière indépendante, essayez quelques-unes des méthodes suivantes pour acquérir des compétences :

• Suivre des cours d'introduction en ligne.

• Lisez des manuels d'algèbre linéaire. 

• Suivez un cours sur Coursera, tel que Essential Linear Algebra for Data Science, de l'Université du Colorado Boulder.

Commencer avec Coursera

Êtes-vous prêt à améliorer vos compétences en algèbre linéaire pour l'apprentissage automatique ? Essayez la Spécialisation Mathematics for Machine Learning de l'Imperial College London pour acquérir des compétences et comprendre comment l'algèbre linéaire s'applique à l'apprentissage automatique et à la science des données.