Les mathématiques discrètes constituent le fondement mathématique de l'informatique et des sciences de l'information. Les apprenants se familiariseront avec un large éventail d'objets mathématiques tels que les ensembles, les fonctions, les relations, les graphiques, qui sont omniprésents dans l'informatique. Plus important encore, ils atteindront un certain niveau de maturité mathématique : ils seront capables de comprendre des énoncés formels et leurs preuves, de produire eux-mêmes des preuves rigoureuses et d'obtenir des résultats intéressants. Ce cours tente d'être rigoureux sans être trop formel. Cela signifie que pour chaque concept que nous introduisons, nous montrerons au moins un résultat intéressant et non trivial et donnerons une preuve complète. Les principaux sujets de ce cours sont (1) les ensembles, les fonctions, les relations, (2) la combinatoire énumérative, (3) la théorie des graphes, (4) les flux et les correspondances dans les réseaux. Il ne couvre pas l'arithmétique modulaire, l'algèbre et la logique, car ces sujets ont une saveur légèrement différente et parce qu'il y a déjà plusieurs cours sur Coursera spécifiquement sur ces sujets.
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Il y a 11 modules dans ce cours
Ce module donne à l'apprenant une première impression de ce que sont les mathématiques discrètes et en quoi leur "saveur" diffère des autres domaines des mathématiques. Il introduit des objets de base tels que les ensembles, les relations, les fonctions, qui constituent le fondement des mathématiques discrètes.
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Même sans le savoir, l'apprenant a déjà vu certains classements dans le passé. Les nombres sont ordonnés par <=. Les entiers peuvent être partiellement ordonnés par la relation "divisible par". En généalogie, les personnes sont ordonnées par la relation "A est un ancêtre de B". Ce module introduit formellement les ordres partiels et prouve quelques faits fondamentaux et non triviaux à leur sujet.
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Une grande partie des mathématiques discrètes consiste à compter les choses. Un exemple classique consiste à se demander combien de mots différents peuvent être obtenus en réorganisant les lettres du mot Mississippi. Les problèmes de comptage de ce type abondent dans les mathématiques discrètes, les probabilités discrètes et l'analyse des algorithmes.
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Le coefficient binomial (n choisir k) compte le nombre de façons de sélectionner k éléments dans un ensemble de taille n. Il apparaît constamment en combinatoire énumérative. Une bonne compréhension de (n choisir k) est également extrêmement utile pour l'analyse des algorithmes.
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Inclus
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Les graphes sont sans doute l'objet le plus important des mathématiques discrètes. Un grand nombre de problèmes d'informatique et de combinatoire peuvent être modélisés dans le langage des graphes. Ce module introduit les notions de base de la théorie des graphes - graphes, cycles, chemins, degré, isomorphisme.
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Nous poursuivons avec les bases de la théorie des graphes. Dans ce module, nous présentons les arbres, une classe importante de graphes, et plusieurs caractérisations équivalentes des arbres. Enfin, nous présentons un algorithme efficace pour détecter si deux arbres sont isomorphes.
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En partant de l'énigme bien connue des "Ponts de Königsberg", nous prouvons la caractérisation bien connue des graphes eulériens. Nous discutons des chemins hamiltoniens et donnons des critères suffisants pour leur existence avec les théorèmes de Dirac et d'Ore.
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Nous discutons des arbres couvrants des graphes. En particulier, nous présentons l'algorithme de Kruskal pour trouver l'arbre couvrant minimal d'un graphe avec des coûts d'arêtes. Nous prouvons la formule de Cayley, qui stipule que le graphe complet sur n sommets a n^(n-2) arbres couvrants.
Inclus
2 vidéos1 devoir2 évaluations par les pairs
Ce module traite des réseaux de flux et a une saveur algorithmique distincte. Nous prouvons le théorème de dualité du flux maximum et de la coupe minimum.
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Nous prouvons le théorème de Hall et le théorème de Kőnig, deux résultats importants sur les appariements dans les graphes bipartis. Avec la machinerie des réseaux de flux, ces deux résultats ont des preuves directes. Enfin, les ordonnancements partiels font leur retour avec le théorème de Dilworth, qui a une preuve surprenante utilisant le théorème de Kőnig.
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