Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

Instructors: Sylvie Méléard

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There are 6 modules in this course

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard.

Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

Nous entamons cette semaine le Cours 4 dont le sujet est les vecteurs aléatoires, c'est-à-dire, une collection finie de variables aléatoires réelles, comme par exemple des couples de variables aléatoires. Ce cours s'étend sur deux semaines.

What's included

8 videos3 readings1 assignment2 plugins

8 videos Total 135 minutes

Séance 1 : LOI D'UN VECTEUR ALÉATOIRE 20 minutes
Séance 2 : MOMENTS 27 minutes
Séance 3 : LOIS CONDITIONNELLES 20 minutes
LA MÉTHODE DU REJET 23 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : LA MÉTHODE DU REJET 9 minutes
Loi triangulaire 8 minutes
Régression linéaire 6 minutes
Aiguille de Buffon 21 minutes

3 readings Total 30 minutes

Loi triangulaire (*) 10 minutes
Régression linéaire (**) 10 minutes
Aiguille de Buffon (**) 10 minutes

1 assignment Total 30 minutes

QCM de la semaine 30 minutes

2 plugins Total 10 minutes

Simulation d’une variable aléatoire à densité par la méthode du rejet 5 minutes
Simulation par la méthode du rejet généralisée 5 minutes

Il s'agit de la suite et de la fin du Cours 4. Nous allons en particulier généraliser le résultat qui nous permet de faire des calculs de lois.

What's included

8 videos4 readings1 assignment2 plugins

8 videos Total 107 minutes

Séance 4 : VECTEURS ALÉATOIRES INDÉPENDANTS 12 minutes
Séance 5 : CALCUL DE LOIS 22 minutes
EXEMPLES DE MÉTHODES PARTICULIÈRES 21 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : INDÉPENDANCE ET FLÉCHETTES ALÉATOIRES 13 minutes
Lois de Gauss et de Cauchy 10 minutes
Calculs sur les lois Gamma 6 minutes
Pannes informatiques 12 minutes
Loi paire flippée 11 minutes

4 readings Total 40 minutes

Lois de Gauss et de Cauchy (*) 10 minutes
Calculs sur les lois gamma (**) 10 minutes
Pannes informatiques (**) 10 minutes
Loi paire flippée (**) 10 minutes

1 assignment Total 30 minutes

QCM de la semaine 30 minutes

2 plugins Total 10 minutes

Simulation - Illustration de la notion d’indépendance : fléchettes gausiennes 5 minutes
Simulation - Illustration de la notion d’indépendance : fléchettes tirées uniformément 5 minutes

Nous entamons le Cours 5 dont l'objet principal est le théorème communément appelé la « loi des grands nombres ». Nous introduirons aussi plusieurs notions de convergence d'une suite de variables aléatoires.

What's included

11 videos6 readings1 assignment1 plugin

11 videos Total 129 minutes

Séance 1 : SOMMES DE VARIABLES ALÉATOIRES 24 minutes
Séance 2 (1/2) : CONVERGENCES 21 minutes
Séance 3 (2/2) : CONVERGENCES 16 minutes
Séance 4 : LOI DES GRANDS NOMBRES 25 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : LA LOI DES GRANDS NOMBRES 12 minutes
Minimum et maximum de variables aléatoires uniformes 7 minutes
La convergence presque-sûre implique la convergence en probabilité 2 minutes
Une métrique pour la convergence en probabilité 5 minutes
Exemples de convergence de variables aléatoires 6 minutes
Une condition de moment pour la convergence en moyenne 5 minutes
Une condition suffisante pour la convergence presque-sûre 6 minutes

6 readings Total 60 minutes

Minimum et maximum de variables aléatoires i.i.d. uniformes (*) 10 minutes
La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité (*) 10 minutes
Une métrique pour la convergence en probabilité (*) 10 minutes
Exemples de convergence de variables aléatoires (**) 10 minutes
Une condition de moment pour la convergence en moyenne (**) 10 minutes
Une condition suffisante pour la convergence presque sûre (**) 10 minutes

1 assignment Total 30 minutes

QCM de la semaine 30 minutes

1 plugin Total 5 minutes

Simulation - Illustration de la loi des grands nombres 5 minutes

Nous terminons le Cours 5 en donnant des exemples d'applications de la loi des grands nombres. Nous introduisons également la méthode de Monte Carlo.

What's included

6 videos1 reading1 assignment2 plugins

6 videos Total 71 minutes

Séance 5 : APPLICATIONS DE LA LOI DES GRANDS NOMBRES 20 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : CONVERGENCE DE LA FONCTION DE RÉPARTITION EMPIRIQUE 6 minutes
MÉTHODE DE MONTE CARLO (INTRODUCTION) 12 minutes
MÉTHODE DE MONTE CARLO (FONDEMENT) 12 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : LES AIGUILLES DE BUFFON 12 minutes
Placement risqué (difficulté **) 9 minutes

1 reading Total 10 minutes

Placement risqué (*) 10 minutes

1 assignment Total 30 minutes

QCM de la semaine 30 minutes

2 plugins Total 10 minutes

Simulation - Calcul de Pi avec une pluie aléatoire 5 minutes
Simulation - Aiguilles de Buffon 5 minutes

Nous commençons le Cours 6, le dernier de ce MOOC, à cheval sur deux semaines. Cette semaine, on introduit un nouvel outil très puissant : les fonction caractéristiques.

What's included

2 videos

Cette dernière semaine est consacrée au second pilier de la théorie des probabilités : le théorème de la limite centrale. Ce résultat nécessite une nouvelle notion de convergence : la convergence en loi. Nous verrons notamment une application aux intervalles de confiance qui sont utilisés pour les sondages.

What's included

11 videos5 readings1 assignment2 plugins

11 videos Total 156 minutes

Séance 3 : CONVERGENCE EN LOI 30 minutes
Séance 4 : CONVERGENCE EN LOI (suite) 16 minutes
Séance 5 : THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE 21 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE 9 minutes
INTERVALLES DE CONFIANCE D'UN SONDAGE 18 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : INTERVALLES DE CONFIANCE 17 minutes
Trois exemples de convergence en loi 10 minutes
Erreurs d’arrondi 7 minutes
Second tour d'une élection présidentielle 7 minutes
La convergence du Théorème Central Limite ne peut pas être en probabilité 6 minutes
Test de moyenne nulle 16 minutes

5 readings Total 50 minutes

Trois exemples de convergence en loi (*) 10 minutes
Erreurs d'arrondi (*) 10 minutes
Second tour d'une élection présidentielle (**) 10 minutes
La convergence du théorème limite central ne peut pas être en probabilité (**) 10 minutes
Test de moyenne nulle (***) 10 minutes

1 assignment Total 30 minutes

QCM de la semaine 30 minutes

2 plugins Total 10 minutes

Simulation - Illustration de la loi des grands nombres et du théorème de la limite centrale 5 minutes
Simulation - Intervalles de confiance (sondage) 5 minutes