Ce cours est une introduction à la méthode des éléments finis telle qu'elle s'applique à une série de problèmes en physique et en sciences de l'ingénieur. Le traitement est mathématique, mais uniquement dans le but de clarifier la formulation. L'accent est mis sur le codage des formulations dans un environnement moderne et ouvert qui peut être étendu à d'autres applications par la suite. Le cours comprend environ 45 heures de conférences couvrant le matériel que j'enseigne normalement dans une classe d'introduction aux études supérieures à l'Université du Michigan. Le traitement est mathématique, ce qui est naturel pour un sujet dont les racines plongent dans l'analyse fonctionnelle et le calcul variationnel. Il n'est cependant pas formel, car l'objectif principal de ces cours est de transformer le spectateur en un développeur compétent de code d'éléments finis. Nous passons du temps sur l'analyse fonctionnelle rudimentaire et le calcul variationnel, mais c'est uniquement pour mettre en évidence la base mathématique des méthodes, qui à son tour explique pourquoi elles fonctionnent si bien. Le succès de la méthode des éléments finis en tant que cadre de calcul repose en grande partie sur la rigueur de ses fondements mathématiques, et il convient de l'apprécier, même si ce n'est que de manière élémentaire, comme nous le présentons ici. Nous partons du principe que vous avez des connaissances en EDP et, surtout, en algèbre linéaire, mais vous constaterez que nous développons toutes les idées pertinentes nécessaires. Le développement lui-même se concentre sur les formes classiques d'équations aux dérivées partielles (EDP) : elliptiques, paraboliques et hyperboliques. À chaque étape, cependant, nous établissons de nombreux liens avec les phénomènes physiques représentés par les EDP. Pour plus de clarté, nous commençons par les EDP elliptiques en une dimension (élasticité linéarisée, conduction thermique en régime permanent et diffusion de masse). Nous passons ensuite aux EDP elliptiques tridimensionnelles à inconnues scalaires (conduction de la chaleur et diffusion de la masse), avant de terminer le traitement des EDP elliptiques par des problèmes tridimensionnels à inconnues vectorielles (élasticité linéarisée). Les EDP paraboliques en trois dimensions viennent ensuite (conduction de chaleur instable et diffusion de masse), et les cours se terminent par les EDP hyperboliques en trois dimensions (élastodynamique linéaire). Les conférences sont entrecoupées de réponses aux questions posées par un petit groupe d'étudiants de troisième cycle et de chercheurs post-doctoraux qui ont suivi les conférences en direct. À certains moments des cours, nous interrompons le développement mathématique pour présenter le cadre du code, qui est entièrement open source et basé sur C++. Livres : Il existe de nombreux livres sur les méthodes des éléments finis. Ce cours n'a pas de manuel obligatoire. Cependant, nous recommandons les livres suivants pour des traitements plus détaillés et plus larges que ce qui peut être fourni dans n'importe quelle forme de cours : The Finite Element Method : Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, T.J.R. Hughes, Dover Publications, 2000 ; The Finite Element Method : Its Basis and Fundamentals, O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor et J.Z. Zhu, Butterworth-Heinemann, 2005. A First Course in Finite Elements, J. Fish et T. Belytschko, Wiley, 2007. Ressources : Vous pouvez télécharger la bibliothèque deal.ii sur dealii.org. Les cours comprennent des tutoriels de codage où nous listons d'autres ressources que vous pouvez utiliser si vous n'êtes pas en mesure d'installer deal.ii sur votre propre ordinateur. Vous aurez besoin de cmake pour faire fonctionner deal.ii. Il est disponible sur cmake.org.