Dieser Kurs setzt Ihr Studium der Infinitesimalrechnung fort und konzentriert sich auf die Anwendung der Integration auf vektorwertige Funktionen oder Vektorfelder. Dabei handelt es sich um Funktionen, die Punkten im Raum Vektoren zuordnen. Dies ermöglicht es uns, fortgeschrittene Theorien zu entwickeln, die wir dann auf reale Probleme anwenden können. Wir definieren Linienintegrale, die verwendet werden können, um die von einem Vektorfeld geleistete Arbeit zu berechnen. Wir schließen diesen Kurs mit dem Satz von Green ab, der die Beziehung zwischen bestimmten Arten von Linienintegralen auf geschlossenen Pfaden und Doppelintegralen beschreibt. Im diskreten Fall wird dieses Theorem als Shoelace-Theorem bezeichnet und ermöglicht es uns, die Flächen von Polygonen zu messen. Wir verwenden diese Version des Theorems, um in einem von Experten begutachteten Projekt weitere Werkzeuge zur Datenanalyse zu entwickeln. Nach erfolgreichem Abschluss dieses Kurses verfügen Sie über alle Werkzeuge, die Sie benötigen, um jede fortgeschrittene Mathematik, Informatik oder Datenwissenschaft zu beherrschen, die auf den Grundlagen der ein- oder mehrdimensionalen Infinitesimalrechnung aufbaut.
Rechnen durch Daten & Modellierung: Vektorielle Berechnung
Dieser Kurs ist Teil von Spezialisierung Integralberechnung durch Daten und Modellierung
Unterrichtet auf Englisch
Einige Inhalte können nicht übersetzt werden
Dozent: Joseph W. Cutrone, PhD
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In diesem Kurs gibt es 3 Module
In diesem Modul definieren wir den Begriff des Vektorfeldes, d.h. eine Funktion, die einen Vektor auf einen bestimmten Punkt anwendet. Anschließend entwickeln wir den Begriff der Integration dieser neuen Funktionen entlang allgemeiner Kurven in der Ebene und im Raum. Linienintegrale wurden im frühen 19. Jahrhundert entwickelt, um Probleme mit Strömungen, Kräften, Elektrizität und Magnetismus zu lösen. Heute bilden sie den Kern der fortgeschrittenen mathematischen Theorie und der Vektorrechnung.
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In diesem Modul führen wir den Begriff des konservativen Vektorfeldes ein. In der Vektorrechnung ist ein konservatives Vektorfeld ein Vektorfeld, das der Gradient einer Funktion f, der sogenannten Potentialfunktion, ist. Konservative Vektorfelder haben die Eigenschaft, dass das Linienintegral pfadunabhängig ist, was bedeutet, dass die Wahl eines beliebigen Pfades zwischen zwei Punkten den Wert des Linienintegrals nicht verändert. Umgekehrt ist die Pfadunabhängigkeit des Linienintegrals gleichbedeutend damit, dass das Vektorfeld konservativ ist. Anschließend formulieren und formalisieren wir ein wichtiges Theorem über Linienintegrale konservativer Vektorfelder, den Fundamentalsatz für Linienintegrale. Damit können wir zeigen, dass für ein konservatives System die Arbeit, die bei der Bewegung entlang eines Pfades im Konfigurationsraum geleistet wird, nur von den Endpunkten des Pfades abhängt
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In diesem Modul erklären wir ein wichtiges Werkzeug der Vektorrechnung und wenden es an: Das Greensche Theorem. Der Satz von Green gibt eine Beziehung zwischen dem Linienintegral eines zweidimensionalen Vektorfeldes über einen geschlossenen Pfad in der Ebene und dem Doppelintegral über die Region, die es einschließt. Die Tatsache, dass das Integral eines zweidimensionalen konservativen Feldes über einen geschlossenen Pfad Null ist, ist ein Spezialfall des Satzes von Green.
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Dozent
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