Die komplexe Analyse ist das Studium von Funktionen, die sich in der komplexen Ebene befinden, d.h. Funktionen, die komplexe Argumente und komplexe Ausgaben haben. Das Hauptziel dieses Moduls ist es, uns mit solchen Funktionen vertraut zu machen. Schließlich wollen wir ihre Glättungseigenschaften untersuchen (d.h. wir wollen komplexe Funktionen komplexer Variablen differenzieren) und müssen daher sowohl Folgen komplexer Zahlen als auch Grenzwerte in der komplexen Ebene verstehen. Wir werden quadratische Polynome als Beispiel für das Studium komplexer Funktionen verwenden und einen Ausflug in das schöne Gebiet der komplexen Dynamik machen, indem wir die Iterate bestimmter quadratischer Polynome betrachten. Dies ermöglicht es uns, die Grundlagen der Konstruktion von Julia-Mengen quadratischer Polynome kennenzulernen. Sie werden alles lernen, was Sie wissen müssen, um Ihre eigenen schönen fraktalen Bilder zu erstellen, wenn Sie das möchten. Zum Abschluss dieses Moduls werden wir die Mandelbrot-Menge und eine der wichtigsten Vermutungen auf dem Gebiet der komplexen Dynamik definieren und untersuchen.

Wenn wir Funktionen studieren, sind wir oft an ihrem lokalen Verhalten interessiert, genauer gesagt daran, wie sich Funktionen ändern, wenn sich ihr Argument ändert. Dies führt uns zum Studium der komplexen Differenzierung - ein mächtigeres Konzept als das, das wir in der Infinitesimalrechnung gelernt haben. Wir beginnen dieses Modul mit der Wiederholung einiger Fakten aus der Infinitesimalrechnung und lernen dann etwas über komplexe Differenzierung und die Cauchy-Riemann-Gleichungen, um die Hauptakteure kennenzulernen: analytische Funktionen. Das sind Funktionen, die an vielen Stellen komplexe Ableitungen besitzen; eine Tatsache, die sie mit einigen der schönsten Eigenschaften ausstattet, die die Mathematik zu bieten hat. Wir werden dieses Modul mit der Untersuchung einiger Funktionen abschließen, die komplex differenzierbar sind, wie z.B. die komplexe Exponentialfunktion und komplexe trigonometrische Funktionen. Diese Funktionen stimmen mit ihren bekannten reellwertigen Gegenstücken auf der reellen Achse überein!

Wir beginnen dieses Modul mit dem Studium der Umkehrfunktionen analytischer Funktionen wie dem komplexen Logarithmus (Umkehrung der Exponentialfunktion) und komplexen Wurzeln (Umkehrungen von Potenzfunktionen). Um eine (lokale) Umkehrfunktion zu besitzen, muss eine analytische Funktion eine Ableitung ungleich Null haben, und wir werden entdecken, dass eine analytische Funktion an jeder solchen Stelle die Winkel zwischen Kurven bewahrt und daher eine konforme Abbildung ist! In zwei Vorlesungen werden wir uns mit sehr speziellen konformen Abbildungen beschäftigen, nämlich den Möbius-Transformationen, die zu den grundlegendsten Abbildungen in der geometrischen Analyse gehören. Wir schließen dieses Modul mit dem berühmten und verblüffenden Riemannschen Abbildungssatz ab. Dieses Theorem ermöglicht es uns, beliebige einfach zusammenhängende Teilbereiche der komplexen Ebene zu untersuchen, indem wir die Geometrie und die komplexe Analyse von der Einheitsscheibe über konforme Abbildungen, deren Existenz durch das Riemannsche Abbildungstheorem garantiert wird, auf diese Bereiche übertragen.

Da wir nun mit komplexer Differenzierung und analytischen Funktionen vertraut sind, können wir uns an die Integration machen. Aber wir befinden uns in der komplexen Ebene. Was sind also die Objekte, über die wir integrieren werden? Kurven! Wir beginnen dieses Modul mit dem Studium von Kurven ("Pfaden") und machen uns anschließend mit dem komplexen Pfadintegral vertraut. Dann lernen wir den schönen und allumfassenden Integralsatz und die Formel von Cauchy kennen. Als Nächstes werden wir einige der mächtigen Konsequenzen dieser Theoreme studieren, wie z.B. den Satz von Liouville, das Maximum-Prinzip und, ob Sie es glauben oder nicht, wir werden in der Lage sein, den Fundamentalsatz der Algebra mit Hilfe der Komplexen Analysis zu beweisen. Es wird eine Woche mit vielen erstaunlichen Ergebnissen!

In diesem Modul lernen wir die Darstellung von Potenzreihen analytischer Funktionen kennen. Wir beginnen mit der Untersuchung unendlicher Reihen komplexer Zahlen und komplexer Funktionen sowie deren Konvergenzeigenschaften. Potenzreihen sind besonders leicht zu verstehen, verhalten sich gut und sind einfach zu handhaben. Wir werden lernen, dass jede analytische Funktion lokal als Potenzreihe dargestellt werden kann, wodurch es möglich ist, analytische Funktionen lokal durch Polynome zu approximieren. Als besonderen Leckerbissen werden wir die Riemannsche Zeta-Funktion erforschen und uns in Gebiete begeben, die am Rande dessen liegen, was heute bekannt ist, wie die Riemannsche Hypothese und ihre Beziehung zu Primzahlen.

Laurentsche Reihen sind ein mächtiges Werkzeug, um analytische Funktionen in der Nähe ihrer Singularitäten zu verstehen. Während Potenzreihen mit nicht-negativen Exponenten verwendet werden können, um analytische Funktionen in Scheiben darzustellen, dienen Laurentsche Reihen (die negative Exponenten haben können) einem ähnlichen Zweck in Ringräumen. Wir beginnen dieses Modul mit einer Einführung in Laurentsche Reihen und ihre Beziehung zu analytischen Funktionen und fahren dann mit der Untersuchung und Klassifizierung von isolierten Singularitäten analytischer Funktionen fort. Wir werden einige mächtige und berühmte Theoreme kennenlernen, wie den Satz von Casorati-Weierstraß und den Satz von Picard, die beide dazu dienen, das Verhalten einer analytischen Funktion in der Nähe einer wesentlichen Singularität besser zu verstehen. Schließlich werden wir uns mit dem Residuensatz befassen, der viele wichtige Anwendungen hat. Wir werden lernen, wie man mithilfe dieses wichtigen Satzes Rückstände findet und einige Integrale (sogar einige reelle Integrale auf der reellen Linie!) auswertet.

Herzlichen Glückwunsch, dass Sie die sieben Wochen dieses Kurses absolviert haben! Dieses Modul enthält die Abschlussprüfung für diesen Kurs. Die Prüfung ist kumulativ und deckt die in den Wochen 1-7 besprochenen Themen ab. Die Prüfung besteht aus 20 Fragen und ist als zweistündige Prüfung konzipiert. Sie haben nur einen Versuch, aber Sie müssen die Prüfung nicht innerhalb von zwei Stunden abschließen. Das Diskussionsforum wird während der Prüfung geöffnet bleiben. Es verstößt gegen den Ehrenkodex, die Antworten auf eine Prüfungsfrage im Forum zu diskutieren. Das Forum sollte nur genutzt werden, um Fragen zu anderen Materialien zu diskutieren oder das Personal auf technische Probleme mit der Prüfung hinzuweisen.