Dieser Kurs ist eine Einführung in die Finite-Elemente-Methode, die auf eine Reihe von Problemen in der Physik und den Ingenieurwissenschaften anwendbar ist. Die Behandlung ist mathematisch, aber nur zum Zweck der Klärung der Formulierung. Der Schwerpunkt liegt auf der Codierung der Formulierungen in einer modernen, quelloffenen Umgebung, die später auf andere Anwendungen ausgeweitet werden kann. Der Kurs umfasst etwa 45 Stunden Vorlesungen, die das Material abdecken, das ich normalerweise in einer einführenden Graduiertenklasse an der University of Michigan unterrichte. Die Behandlung ist mathematisch, was bei einem Thema, dessen Wurzeln tief in der Funktionalanalysis und Variationsrechnung liegen, nur natürlich ist. Sie ist jedoch nicht formal, denn das Hauptziel dieser Vorlesungen ist es, den Zuschauer zu einem kompetenten Entwickler von Finite-Elemente-Code zu machen. Wir verbringen zwar Zeit mit rudimentärer Funktionsanalyse und Variationsrechnung, aber nur, um die mathematische Grundlage für die Methoden hervorzuheben, die wiederum erklärt, warum sie so gut funktionieren. Ein großer Teil des Erfolgs der Finite-Elemente-Methode als Berechnungsrahmen liegt in der Strenge ihrer mathematischen Grundlage, und diese muss gewürdigt werden, wenn auch nur auf die hier vorgestellte elementare Weise. Ein Hintergrundwissen über PDEs und, was noch wichtiger ist, über lineare Algebra wird vorausgesetzt, obwohl der Betrachter feststellen wird, dass wir alle relevanten Ideen entwickeln, die benötigt werden. Die Entwicklung selbst konzentriert sich auf die klassischen Formen von partiellen Differentialgleichungen (PDEs): elliptisch, parabolisch und hyperbolisch. In jeder Phase stellen wir jedoch zahlreiche Verbindungen zu den physikalischen Phänomenen her, die durch die PDEs dargestellt werden. Der Übersichtlichkeit halber beginnen wir mit elliptischen PDEs in einer Dimension (linearisierte Elastizität, stationäre Wärmeleitung und Massendiffusion). Anschließend gehen wir zu dreidimensionalen elliptischen PDEs mit skalaren Unbekannten über (Wärmeleitung und Massendiffusion), bevor wir die Behandlung elliptischer PDEs mit dreidimensionalen Problemen mit vektoriellen Unbekannten (linearisierte Elastizität) beenden. Es folgen parabolische PDEs in drei Dimensionen (instationäre Wärmeleitung und Massendiffusion), und die Vorlesung endet mit hyperbolischen PDEs in drei Dimensionen (lineare Elastodynamik). Zwischen den Vorlesungen finden Sie Antworten auf Fragen, die von einer kleinen Gruppe von Studenten und Post-Docs gestellt wurden, die die Vorlesungen live verfolgt haben. An geeigneten Stellen in den Vorlesungen unterbrechen wir die mathematische Entwicklung, um das Code-Framework zu erläutern, das vollständig Open Source ist und auf C++ basiert. Bücher: Es gibt viele Bücher über Finite-Elemente-Methoden. Für diesen Kurs gibt es kein vorgeschriebenes Lehrbuch. Wir empfehlen jedoch die folgenden Bücher für eine detailliertere und umfassendere Behandlung, als sie in einem Kurs vermittelt werden kann: The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, T.J.R. Hughes, Dover Publications, 2000. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor und J.Z. Zhu, Butterworth-Heinemann, 2005. A First Course in Finite Elements, J. Fish und T. Belytschko, Wiley, 2007. Ressourcen: Sie können die deal.ii Bibliothek unter dealii.org herunterladen. In den Vorlesungen finden Sie Anleitungen zur Programmierung, in denen wir weitere Ressourcen auflisten, die Sie verwenden können, wenn Sie deal.ii nicht auf Ihrem eigenen Computer installieren können. Sie benötigen cmake, um deal.ii auszuführen. Es ist unter cmake.org erhältlich.
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Die Finite-Elemente-Methode für physikalische Probleme
Dozent: Krishna Garikipati, Ph.D.
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Was Sie lernen werden
Machen Sie sich mit der Finite-Elemente-Methode vertraut, die auf eine Reihe von Problemen in der Physik und im Ingenieurwesen anwendbar ist.
Erstellen Sie einfachen C++-Code.
Kompetenzen, die Sie erwerben
- Kategorie: Endliche Differenzen
- Kategorie: C++
- Kategorie: C Sharp (C#) (Programmiersprache)
- Kategorie: Matrizen
Wichtige Details
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In diesem Kurs gibt es 13 Module
Diese Einheit ist eine Einführung in ein einfaches eindimensionales Problem, das mit der Methode der finiten Elemente gelöst werden kann.
Das ist alles enthalten
11 Videos3 Lektüren1 Aufgabe
In dieser Lektion werden Sie in die approximative oder endlich-dimensionale schwache Form für das eindimensionale Problem eingeführt.
Das ist alles enthalten
14 Videos1 Aufgabe
In dieser Einheit werden Sie die endlich-dimensionale schwache Form in eine Matrix-Vektor-Form schreiben. Außerdem erhalten Sie eine Einführung in die Kodierung mit dem deal.ii Framework.
Das ist alles enthalten
14 Videos1 Aufgabe1 Programmieraufgabe
In dieser Lektion erfahren Sie weitere Einzelheiten über Randbedingungen, Basisfunktionen höherer Ordnung und numerische Quadratur. Außerdem lernen Sie die Vorlagen für die erste Kodierungsaufgabe kennen.
Das ist alles enthalten
17 Videos1 Aufgabe
In dieser Lektion wird die mathematische Analyse der Finite-Elemente-Methode erläutert.
Das ist alles enthalten
12 Videos1 Aufgabe
In dieser Einheit wird eine alternative Ableitung der schwachen Form entwickelt, die auf bestimmte physikalische Probleme anwendbar ist.
Das ist alles enthalten
4 Videos1 Aufgabe
In dieser Einheit entwickeln wir die Finite-Elemente-Methode für dreidimensionale skalare Probleme, wie z.B. das Wärmeleitungs- oder Massendiffusionsproblem.
Das ist alles enthalten
24 Videos1 Aufgabe
In dieser Lektion vervollständigen Sie einige Details der dreidimensionalen Formulierung, die von der Wahl der Basisfunktionen abhängen, und werden in die zweite Kodierungsaufgabe eingeführt.
Das ist alles enthalten
9 Videos1 Aufgabe1 Programmieraufgabe
In dieser Einheit machen wir einen Umweg, um die zweidimensionale Formulierung für skalare Probleme, wie die stationären Wärme- oder Diffusionsgleichungen, zu studieren.
Das ist alles enthalten
6 Videos1 Aufgabe
Diese Lektion führt in das Problem der dreidimensionalen, linearisierten Elastizität im stationären Zustand ein und entwickelt die Finite-Elemente-Methode für dieses Problem. Aspekte der Codevorlagen werden ebenfalls untersucht.
Das ist alles enthalten
22 Videos1 Aufgabe1 Programmieraufgabe
In dieser Lektion untersuchen wir das Problem der instationären Wärmeleitung bzw. der Massendiffusion sowie dessen Formulierung mit finiten Elementen.
Das ist alles enthalten
27 Videos1 Aufgabe1 Programmieraufgabe
In dieser Lektion studieren wir das Problem der Elastodynamik und seine Formulierung mit finiten Elementen.
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9 Videos1 Aufgabe
Dies ist eine Zusammenfassung mit Vorschlägen für zukünftige Studien.
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1 Video2 Lektüren
Dozent
Empfohlen, wenn Sie sich für Maschinenwesen interessieren
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Geprüft am 4. Sep. 2020
Geprüft am 22. Nov. 2020
Geprüft am 13. Feb. 2021
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Häufig gestellte Fragen
Sie benötigen ausreichende Computerressourcen, um den Code zu installieren und auszuführen. Je nach Art der Installation kann dies zwischen einem 13 MB großen Download einer gepackten und gepackten Datei bis zu 45 MB für eine serielle MacOSX-Binärdatei und 192 MB für eine parallele MacOSX-Binärdatei betragen. Außerdem benötigen Sie ein spezielles Visualisierungsprogramm, das wir empfehlen. Wenn Sie insgesamt 1 GB zur Verfügung haben, sollten Sie keine Probleme haben. Alternativ können Sie auch ein Virtual Machine Interface herunterladen.
Sie werden in der Lage sein, Code zu schreiben, der einige der schönsten Probleme der Physik simuliert, und diese Physik zu visualisieren.
Sie müssen sich mit Matrizen und Vektoren auskennen. Kenntnisse über partielle Differentialgleichungen werden sehr hilfreich sein. Der Code ist in C++, aber Sie müssen C++ nicht von Anfang an beherrschen. Wir werden Sie auf Ressourcen verweisen, die Ihnen genug C++ für diesen Kurs beibringen werden. Allerdings sollten Sie schon einmal programmiert haben (Matlab, Fortran, C, Python, C++ sollten alle ausreichen).