The Hong Kong University of Science and Technology
Differentialgleichungen für Ingenieure
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Differentialgleichungen für Ingenieure

Jeffrey R. Chasnov

TOP-LEHRKRAFT

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Was Sie lernen werden

  • Differentialgleichungen erster Ordnung

  • Differentialgleichungen zweiter Ordnung

  • Die Laplace-Transformation und Reihenlösungsmethoden

  • Systeme von Differentialgleichungen und partielle Differentialgleichungen

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28 Quizzes, 3 Aufgaben

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Dieser Kurs ist Teil der Spezialisierung Spezialisierung Mathematik für Ingenieure
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In diesem Kurs gibt es 6 Module

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung für eine Funktion mit einer oder mehreren ihrer Ableitungen. Wir stellen verschiedene Arten von Differentialgleichungen vor und wie man sie klassifiziert. Anschließend besprechen wir die Euler-Methode zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung (ODE) erster Ordnung. Wir lernen analytische Methoden zur Lösung von trennbaren und linearen ODEs erster Ordnung kennen, mit einer Erklärung der Theorie, gefolgt von illustrativen Lösungen einiger einfacher ODEs. Schließlich untersuchen wir drei reale Beispiele für ODEs erster Ordnung: Zinseszins, die Endgeschwindigkeit einer fallenden Masse und die elektrische Schaltung mit Widerstand und Kondensator.

Das ist alles enthalten

14 Videos14 Lektüren6 Quizzes1 Aufgabe

Wir verallgemeinern die numerische Euler-Methode auf eine ODE zweiter Ordnung. Anschließend entwickeln wir zwei theoretische Konzepte, die für lineare Gleichungen verwendet werden: das Prinzip der Überlagerung und den Wronskian. Mit diesen Konzepten können wir analytische Lösungen für eine homogene ODE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten finden. Wir verwenden einen exponentiellen Ansatz und transformieren die ODE mit konstanten Koeffizienten in eine Polynomgleichung zweiter Ordnung, die charakteristische Gleichung der ODE. Die charakteristische Gleichung kann reelle oder komplexe Wurzeln haben und wir lernen Lösungsmethoden für die verschiedenen Fälle.

Das ist alles enthalten

11 Videos11 Lektüren4 Quizzes1 Plug-in

Wir fügen nun der ODE mit konstantem Koeffizienten einen inhomogenen Term hinzu. Der inhomogene Term kann ein Exponentialwert, ein Sinus oder Kosinus oder ein Polynom sein. Wir untersuchen auch das Phänomen der Resonanz, wenn die erzwungene Frequenz gleich der natürlichen Frequenz des Oszillators ist. Schließlich lernen wir drei wichtige Anwendungen kennen: den RLC-Stromkreis, eine Masse an einer Feder und das Pendel.

Das ist alles enthalten

12 Videos9 Lektüren5 Quizzes

Wir stellen zwei neue analytische Lösungsmethoden zur Lösung von linearen ODEs vor. Die erste ist die Laplace-Transformationsmethode, die zur Lösung der ODE mit konstantem Koeffizienten und einem diskontinuierlichen oder impulsiven inhomogenen Term verwendet wird. Die Laplace-Transformation ist im Allgemeinen ein gutes Mittel, um anspruchsvolle Integraltransformationstechniken in einem leicht verständlichen Kontext einzuführen. Wir führen auch die Lösung einer linearen ODE durch eine Serienlösung ein. Obwohl wir hier nicht näher darauf eingehen, kann eine Einführung in diese Technik für Studenten nützlich sein, die ihr in fortgeschritteneren Kursen wieder begegnen.

Das ist alles enthalten

11 Videos10 Lektüren4 Quizzes1 Aufgabe

Wir lernen, wie man ein gekoppeltes System von homogenen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten löst. Dieses System von ODEs kann in Matrixform geschrieben werden, und wir lernen, wie man diese Gleichungen in ein Standard-Eigenwertproblem der Matrixalgebra umwandelt. Die zweidimensionalen Lösungen werden dann mithilfe von Phasenporträts visualisiert. Als nächstes lernen wir die wichtige Anwendung gekoppelter harmonischer Oszillatoren und die Berechnung von Normalmoden kennen. Die Normalmoden sind die Bewegungen, bei denen die einzelnen Massen, aus denen das System besteht, mit der gleichen Frequenz schwingen. Anschließend wenden wir die Theorie an, um ein System aus zwei gekoppelten harmonischen Oszillatoren zu lösen, und verwenden die Normalmoden, um die Bewegung des Systems zu analysieren.

Das ist alles enthalten

13 Videos10 Lektüren4 Quizzes1 Aufgabe

Um zu lernen, wie man eine partielle Differentialgleichung (PDE) löst, definieren wir zunächst eine Fourier-Reihe. Dann leiten wir die eindimensionale Diffusionsgleichung ab, eine PDE, die die Diffusion eines Farbstoffs in einem Rohr beschreibt. Anschließend lösen wir diese PDE mit der Methode der Trennung der Variablen. Dabei wird die PDE in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) aufgeteilt, die dann mit den Standardtechniken zur Lösung von ODEs gelöst werden können. Anschließend verwenden wir die Lösungen dieser beiden ODEs und unsere Definition einer Fourier-Reihe, um die Lösung der ursprünglichen PDE zu ermitteln.

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11 Videos11 Lektüren5 Quizzes

Dozent

Lehrkraftbewertungen
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Jeffrey R. Chasnov

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Geprüft am 27. Juni 2020

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Geprüft am 27. Aug. 2020

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Geprüft am 1. Dez. 2024

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