The Hong Kong University of Science and Technology
Equations différentielles pour ingénieurs
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Equations différentielles pour ingénieurs

Jeffrey R. Chasnov

Instructeur : Jeffrey R. Chasnov

Enseignant de premier plan

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Ce que vous apprendrez

  • Equations différentielles du premier ordre

  • Equations différentielles du second ordre

  • La transformée de Laplace et les méthodes de résolution des séries

  • Systèmes d'équations différentielles et d'équations aux dérivées partielles

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Une équation différentielle est une équation pour une fonction avec une ou plusieurs de ses dérivées. Nous présentons les différents types d'équations différentielles et la manière de les classer. Nous discutons ensuite de la méthode d'Euler pour résoudre numériquement une équation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre. Nous apprenons les méthodes analytiques pour résoudre les EDO séparables et linéaires du premier ordre, avec une explication de la théorie suivie de solutions illustratives de quelques EDO simples. Enfin, nous explorons trois exemples concrets d'EDO du premier ordre : les intérêts composés, la vitesse terminale d'une masse en chute libre et le circuit électrique résistance-condensateur.

Inclus

14 vidéos14 lectures6 quizzes1 devoir

Nous généralisons la méthode numérique d'Euler à une EDO du second ordre. Nous développons ensuite deux concepts théoriques utilisés pour les équations linéaires : le principe de superposition et le Wronskien. En utilisant ces concepts, nous pouvons trouver des solutions analytiques à une EDO homogène du second ordre à coefficients constants. Nous utilisons un ansatz exponentiel et transformons l'EDO à coefficients constants en une équation polynomiale du second ordre appelée équation caractéristique de l'EDO. L'équation caractéristique peut avoir des racines réelles ou complexes et nous apprenons les méthodes de résolution pour les différents cas.

Inclus

11 vidéos11 lectures4 quizzes1 plugin

Nous ajoutons maintenant un terme inhomogène à l'EDO à coefficient constant. Le terme inhomogène peut être une exponentielle, un sinus ou un cosinus, ou un polynôme. Nous étudions également le phénomène de résonance, lorsque la fréquence de forçage est égale à la fréquence naturelle de l'oscillateur. Enfin, nous découvrons trois applications importantes : le circuit électrique RLC, une masse sur un ressort et le pendule.

Inclus

12 vidéos9 lectures5 quizzes

Nous présentons deux nouvelles méthodes analytiques de résolution des EDO linéaires. La première est la méthode de la transformée de Laplace, qui est utilisée pour résoudre l'EDO à coefficient constant avec un terme inhomogène discontinu ou impulsif. La transformée de Laplace est un bon véhicule en général pour introduire des techniques sophistiquées de transformation intégrale dans un contexte facilement compréhensible. Nous introduisons également la solution d'une EDO linéaire par une solution en série. Bien que nous ne l'approfondissions pas ici, une introduction à cette technique peut être utile aux étudiants qui la rencontreront à nouveau dans des cours plus avancés.

Inclus

11 vidéos10 lectures4 quizzes1 devoir

Nous apprenons à résoudre un système couplé d'équations différentielles homogènes du premier ordre à coefficients constants. Ce système d'EDO peut être écrit sous forme de matrice, et nous apprenons à convertir ces équations en un problème standard de valeurs propres de l'algèbre matricielle. Les solutions bidimensionnelles sont ensuite visualisées à l'aide de portraits de phase. Nous apprenons ensuite une application importante des oscillateurs harmoniques couplés et le calcul des modes normaux. Les modes normaux sont les mouvements pour lesquels les masses individuelles qui composent le système oscillent à la même fréquence. Nous appliquons ensuite la théorie pour résoudre un système de deux oscillateurs harmoniques couplés et utilisons les modes normaux pour analyser le mouvement du système.

Inclus

13 vidéos10 lectures4 quizzes1 devoir

Pour apprendre à résoudre une équation différentielle partielle (EDP), nous commençons par définir une série de Fourier. Nous dérivons ensuite l'équation de diffusion unidimensionnelle, qui est une EDP décrivant la diffusion d'un colorant dans un tuyau. Nous procédons ensuite à la résolution de cette EDP à l'aide de la méthode de séparation des variables. Cela implique de diviser l'EDP en deux équations différentielles ordinaires (EDO), qui peuvent ensuite être résolues à l'aide des techniques standard de résolution des EDO. Nous utilisons ensuite les solutions de ces deux EDO et notre définition d'une série de Fourier pour retrouver la solution de l'EDP d'origine.

Inclus

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Instructeur

Évaluations de l’enseignant
4.8 (625 évaluations)
Jeffrey R. Chasnov

Enseignant de premier plan

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