La Combinatoire analytique enseigne un calcul qui permet des prédictions quantitatives précises des grandes structures combinatoires. Ce cours introduit la méthode symbolique pour dériver des relations fonctionnelles entre les fonctions génératrices ordinaires, exponentielles et multivariées, ainsi que des méthodes d'analyse complexe pour dériver des asymptotiques précises à partir des équations de GF. Toutes les fonctionnalités de ce cours sont disponibles gratuitement. Les personnes souhaitant approfondir le contenu peuvent se procurer le manuel Analytic Combinatorics (sur lequel le cours est basé) ou visiter le site web ac.cs.princeton.edu pour une mine de matériel supplémentaire. Ce cours n'offre pas de certificat à l'issue de la formation.
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Notre premier cours porte sur la méthode symbolique, dans laquelle nous définissons des constructions combinatoires que nous pouvons utiliser pour définir des classes d'objets combinatoires. Les constructions sont intégrées à des théorèmes de transfert qui conduisent à des équations définissant des fonctions génératrices dont les coefficients énumèrent les classes. Nous considérons de nombreux exemples tirés de la combinatoire classique.
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7 vidéos2 lectures1 devoir1 sujet de discussion
Cette conférence présente les objets étiquetés, où les atomes que nous utilisons pour construire des objets sont distinguables. Nous utilisons les fonctions génératrices exponentielles EGF pour étudier les classes combinatoires construites à partir d'objets étiquetés. Comme dans l'exposé 1, nous définissons des constructions combinatoires qui conduisent à des équations EGF, et nous considérons de nombreux exemples tirés de la combinatoire classique.
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7 vidéos1 lecture1 devoir1 sujet de discussion
Ce cours décrit le processus d'ajout de variables pour marquer les paramètres, puis l'utilisation des constructions des cours 1 et 2 et des extensions naturelles des théorèmes de transfert pour définir des fonctions génératrices multivariées qui contiennent des informations sur les paramètres. Nous nous concentrons sur les fonctions génératrices bivariées (BGF), où une variable marque la taille d'un objet et l'autre la valeur d'un paramètre. Après avoir étudié les méthodes de calcul de la moyenne, de l'écart-type et d'autres moments à partir des FGB, nous examinons plusieurs exemples en détail.
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5 vidéos1 lecture1 devoir1 sujet de discussion
Cette semaine, nous introduisons l'idée de considérer les fonctions génératrices comme des objets analytiques, ce qui nous conduit à des estimations asymptotiques des coefficients. L'approche est la plus fructueuse lorsque nous considérons les GF comme des fonctions complexes, nous introduisons et appliquons donc les concepts de base de l'analyse complexe. Nous partons des principes de base, il n'est donc pas nécessaire d'avoir des connaissances préalables en analyse complexe.
Inclus
6 vidéos1 lecture1 devoir1 sujet de discussion
Nous considérons les applications du théorème de transfert général du cours précédent à de nombreuses classes combinatoires classiques que nous avons rencontrées dans les cours 1 et 2. Ensuite, nous considérons une loi universelle qui donne des asymptotiques pour un large éventail de classes combinatoires construites avec la construction séquentielle.
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6 vidéos1 lecture1 devoir1 sujet de discussion
Ce cours aborde le théorème fondamental de Flajolet-Odlyzko, dans lequel nous trouvons le domaine d'analyticité de la fonction près de sa singularité dominante, l'approximation en utilisant des fonctions de l'échelle standard, et ensuite le transfert vers l'asymptotique des coefficients terme par terme.
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Nous verrons comment l'approche de Flajolet-Odlyzko conduit à des lois universelles couvrant les classes combinatoires construites avec les constructions d'ensembles, de multi-ensembles et de séquences récursives. Nous examinons ensuite les applications à de nombreuses classes combinatoires classiques que nous avons rencontrées dans les cours 1 et 2.
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6 vidéos1 lecture1 devoir1 sujet de discussion
Nous considérons la méthode du point de selle, une technique générale pour l'intégration des contours qui fournit également une voie efficace pour le développement de l'asymptotique des coefficients pour les GFs sans singularités. Comme d'habitude, nous considérons l'application de cette méthode à plusieurs des problèmes classiques introduits dans les cours 1 et 2.
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