Cette conférence présente les objets étiquetés, où les atomes que nous utilisons pour construire des objets sont distinguables. Nous utilisons les fonctions génératrices exponentielles EGF pour étudier les classes combinatoires construites à partir d'objets étiquetés. Comme dans l'exposé 1, nous définissons des constructions combinatoires qui conduisent à des équations EGF, et nous considérons de nombreux exemples tirés de la combinatoire classique.

Ce cours décrit le processus d'ajout de variables pour marquer les paramètres, puis l'utilisation des constructions des cours 1 et 2 et des extensions naturelles des théorèmes de transfert pour définir des fonctions génératrices multivariées qui contiennent des informations sur les paramètres. Nous nous concentrons sur les fonctions génératrices bivariées (BGF), où une variable marque la taille d'un objet et l'autre la valeur d'un paramètre. Après avoir étudié les méthodes de calcul de la moyenne, de l'écart-type et d'autres moments à partir des FGB, nous examinons plusieurs exemples en détail.

Cette semaine, nous introduisons l'idée de considérer les fonctions génératrices comme des objets analytiques, ce qui nous conduit à des estimations asymptotiques des coefficients. L'approche est la plus fructueuse lorsque nous considérons les GF comme des fonctions complexes, nous introduisons et appliquons donc les concepts de base de l'analyse complexe. Nous partons des principes de base, il n'est donc pas nécessaire d'avoir des connaissances préalables en analyse complexe.

Nous considérons les applications du théorème de transfert général du cours précédent à de nombreuses classes combinatoires classiques que nous avons rencontrées dans les cours 1 et 2. Ensuite, nous considérons une loi universelle qui donne des asymptotiques pour un large éventail de classes combinatoires construites avec la construction séquentielle.

Ce cours aborde le théorème fondamental de Flajolet-Odlyzko, dans lequel nous trouvons le domaine d'analyticité de la fonction près de sa singularité dominante, l'approximation en utilisant des fonctions de l'échelle standard, et ensuite le transfert vers l'asymptotique des coefficients terme par terme.

Nous verrons comment l'approche de Flajolet-Odlyzko conduit à des lois universelles couvrant les classes combinatoires construites avec les constructions d'ensembles, de multi-ensembles et de séquences récursives. Nous examinons ensuite les applications à de nombreuses classes combinatoires classiques que nous avons rencontrées dans les cours 1 et 2.

Nous considérons la méthode du point de selle, une technique générale pour l'intégration des contours qui fournit également une voie efficace pour le développement de l'asymptotique des coefficients pour les GFs sans singularités. Comme d'habitude, nous considérons l'application de cette méthode à plusieurs des problèmes classiques introduits dans les cours 1 et 2.