Ce cours poursuit votre étude du calcul en se concentrant sur les applications de l'intégration aux fonctions à valeur vectorielle, ou champs vectoriels. Ce sont des fonctions qui attribuent des vecteurs à des points dans l'espace, ce qui nous permet de développer des théories avancées que nous pouvons ensuite appliquer à des problèmes du monde réel. Nous définissons les intégrales de ligne, qui peuvent être utilisées pour financer le travail effectué par un champ de vecteurs. Nous terminons ce cours par le théorème de Green, qui décrit la relation entre certains types d'intégrales de lignes sur des trajectoires fermées et les intégrales doubles. Dans le cas discret, ce théorème s'appelle le théorème du lacet et nous permet de mesurer l'aire des polygones. Nous utilisons cette version du théorème pour développer d'autres outils d'analyse de données dans le cadre d'un projet évalué par les pairs. Une fois ce cours terminé avec succès, vous disposez de tous les outils nécessaires pour maîtriser les mathématiques avancées, l'informatique ou la science des données qui s'appuient sur les fondements du calcul à une ou plusieurs variables.
Le calcul par les données et la modélisation : Calcul vectoriel
Ce cours fait partie de Spécialisation Le calcul intégral à travers les données et la modélisation
Enseigné en Anglais
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Instructeur : Joseph W. Cutrone, PhD
Enseignant de premier plan
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Il y a 3 modules dans ce cours
Dans ce module, nous définissons la notion de champ de vecteurs, qui est une fonction qui applique un vecteur à un point donné. Nous développons ensuite la notion d'intégration de ces nouvelles fonctions le long de courbes générales dans le plan et dans l'espace. Les intégrales de lignes ont été développées au début du 19ème siècle pour résoudre des problèmes liés à l'écoulement des fluides, aux forces, à l'électricité et au magnétisme. Aujourd'hui, elles restent au cœur de la théorie mathématique avancée et du calcul vectoriel.
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Dans ce module, nous introduisons la notion de champ de vecteurs conservatif. En calcul vectoriel, un champ de vecteurs conservatif est un champ de vecteurs qui est le gradient d'une certaine fonction f, appelée fonction potentielle. Les champs de vecteurs conservatifs ont la propriété que l'intégrale de ligne est indépendante du chemin, ce qui signifie que le choix d'un chemin quelconque entre deux points ne change pas la valeur de l'intégrale de ligne. Inversement, l'indépendance de l'intégrale de ligne par rapport au chemin est équivalente au fait que le champ de vecteurs est conservatif. Nous énonçons et formalisons ensuite un théorème important sur les intégrales de lignes de champs de vecteurs conservatifs, appelé Théorème fondamental pour les intégrales de lignes. Cela nous permettra de montrer que pour un système conservatif, le travail effectué en se déplaçant le long d'une trajectoire dans l'espace de configuration ne dépend que des extrémités de la trajectoire
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Dans ce module, nous énonçons et appliquons un outil principal du calcul vectoriel : Le théorème de Green. Le théorème de Green établit une relation entre l'intégrale linéaire d'un champ de vecteurs bidimensionnel sur une trajectoire fermée dans le plan et l'intégrale double sur la région qu'elle englobe. Le fait que l'intégrale d'un champ conservatif bidimensionnel sur un chemin fermé soit nulle est un cas particulier du théorème de Green.
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